Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．

Answer

（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；
（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．
证明：如图，

（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，
∴ABFD为矩形，AB⊥BF．
∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF．
（2）【解析】
∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD
又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．
以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，
则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，）

平面BCD的法向量，
设平面EBD的法向量为，
由⇒，即，取y=1，得x=2，z=
则．
所以．
因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，
所以cosθ∈，即．
由得：
由得：或．
所以a的取值范围是．