Question

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，设=（sin（-A），1），=（2sin（+1），-1），a=2，且•=-．
（1）若b=2，求△ABC的面积；
（2）求b+c的最大值．

Answer

（1）通过向量的数量积二倍角的余弦函数，求出A的二倍角的余弦值，然后求出A．通过正弦定理求出R，然后求出三角形的面积．
（2）解法1：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，结合不等式求出b+c的最大值为4．
解法2：由正弦定理得：=，利用两角和与差的三角函数，根据角的范围，求出b+c的最大值．
【解析】
（1）•=2sin（-A）sin（+A）-1
=2sin（-A）cos（-A）-1
=sin（-2A）-1=cos2A-1=-，
∴cos2A=-，…（3分）
∵0＜A＜，∴0＜2A＜π，∴2A=，A=   …（4分）
设△ABC的外接圆半径为R，由a=2RsinA得2=2R×，∴R=2
由b=2RsinB得sinB=，又b＜a，∴B=，…（5分）
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=•+•=，…（6分）
∴△ABC的面积为S=absinC=•2•2•=3+．…（7分）
（2）解法1：由a2=b2+c2-2bccosA，得b2+c2-bc=12，…（9分）
∴（b+c）2=3bc+12≤3（）2+12，…（11分）
∴（b+c）2≤48，即b+c≤4，（当且仅当b=c时取等号）
从而b+c的最大值为4．…（12分）
解法2：由正弦定理得：====4，又B+C=π-A=，…（8分）
∴b+c=4（sinB+sinC）=4[sinB+sin（-B）]=6sinB+2cosB=4sin（B+），…（10分）
∴当B+=，即B=时，b+c取得最大值4．…（12分）