Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E、F分别为棱DD₁、BB₁上的动点，且BF=D₁E，设EF与AB所成角为α，EF与BC所成的角为β，则α+β的最小值为（ ）

A．45°
B．60°
C．90°
D．无法确定

Answer

在平面AA1B1B中过点E作直线EM∥AB，交AA1于点M，连接MF，可得∠MEF=α，同理可得α=β．Rt△MFE中算出EF关于λ的式子，从而得到cosα的取值范围，结合余弦函数单调性求出α的取值范围，可得α+β的取值范围，得到α+β的最小值．
【解析】
在平面AA1B1B中过点E作直线EM∥AB，交AA1于点M，连接MF，
则可得∠MEF就是异面EF、AB所成角，即∠MEF=α，
同理可得EF与BC所成的角β=α．
设BF=D1E=λ（0＜λ＜1），正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于1，则
在Rt△MFE中，ME=1，EF=，
∴cosα==≥，
当时，cosα的最小值为
∵α为锐角或直角，∴α≤45°，可得α=β≤45°
因此，α+β的最小值为90°．
故选：C