Question

已知椭圆C的方程为（a＞0），其焦点在x轴上，点Q为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x，y）满足，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）把点Q坐标代入椭圆方程即可求得a2；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线OM与ON的斜率之积为，可得M、N坐标间的关系式，由，，从而可化为M、N坐标的表达式，再由M、N是椭圆C上的点即可求得为定值；
（3）由（2）知，动点P（x，y）满足，从而可判断点P轨迹是椭圆，其焦点即为定点A、B；
【解析】
（1）因为点为椭圆上一点，
所以，解得a2=4，
所以椭圆方程为；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
又，化简得x1x2+2y1y2=0，
又M、N是椭圆C上的点，所以，，即，，
由，，
所以
=
=4+4×4+4（x1x2+2y1y2）
=20（定值）；                                     
（3）由（2）知，动点P（x，y）满足，即，
所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆．
故存在点A（）、B（），使得|PA|+|PB|=（定值）．