Question

已知椭圆（a＞b＞0）经过点M（1，），且其右焦点与抛物线的焦点F重合．
①求椭圆C₁的方程；
②直线l经过点F与椭圆C₁相交于A、B两点，与抛物线C₂相交于C、D两点．求的最大值．

Answer

①首先求出抛物线的焦点坐标，则c可求，结合椭圆的隐含条件及点M（1，）在椭圆上，进一步列式可求椭圆方程；
②分直线l的斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，可以直接求出A，B，C，D四点的坐标，则的值可求，当斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程及抛物线方程联立后，运用弦长公式把用直线的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值．
【解析】
如图，
①解法1：由抛物线方程为y2=4x，得其焦点F（1，0），
∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1．
故a2-b2=c2=1                            ①
又椭圆C1经过点，∴     ②
由①②消去a2并整理，得，4b4-9b2-9=0，解得：b2=3，或（舍去），
从而a2=b2+1=4． 故椭圆的方程为．
解法2：由抛物线方程，得焦点F（1，0），
∴c=1．
∴椭圆C1的左右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．
∵椭圆（a＞b＞0）经过点M（1，），
∴=4．
∴a=2，则a2=4，b2=a2-c2=4-1=3．
故椭圆的方程为．
②当直线l垂直于x轴时，
则A（1，），B（1，），C（1，2），D（1，-2）．∴．
当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x-1）．
联立，得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．
△=（-8k2）2-4×（3+4k2）×（-12）=64k4+192k2+144＞0．
∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1），B（x2，y2）．
则，．
所以，=
=
=．
由，得，k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
△=[-（2k2+4）]2-4k4=16k2+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C（x3，y3），D（x4，y4）．
∵k≠0，∴，
由抛物线的定义，得．
∴=．
综上，当直线l垂直于x轴时，取得最大值．