Question

对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖．
其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

根据新定义A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的“距离”：‖AB‖=+，对①②③逐个分析即可判断其正误．
【解析】
①，不妨设直线AB的方程为y=kx+b（k＞0），令x2＞x＞x1，
∵点C（x，y）在线段AB上，
∴‖AC‖=+=（k+1）（x-x1）；
同理可得，‖CB‖=（k+1）（x2-x），‖AB‖=（k+1）（x2-x1）；
∵‖AC‖+‖CB‖=（k+1）（x-x1）+（k+1）（x2-x）=（k+1）（x2-x1）=‖AB‖；
故①正确；
②，∵在△ABC中，若∠C=90°，取C（1，1），A（3，2），则B在直线x+y=3上，不妨取B（0，3），
‖CA‖=|3-1|+|2-1|=2+1=3，‖CB‖=|0-1|+|3-1|=1+2=3，‖AB‖=|3-0|+|2-3|=4，
显然，‖AC‖+‖CB‖≠‖AB‖；故②错误；
③，取C（0，0），A（1，0），B（0，1），则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖=2，故③错误．
综上所述，其中真命题的个数为1．
故选B．