Question

已知椭圆c：=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F₁、F₂，上顶点A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F₁A上的一个动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标．

Answer

（1）根据椭圆的定义和△AF1F2周长为6，建立关于a、b、c的方程组，解之得a=2、b=且c=1，即可得到椭圆C的标准方程，用离心率的公式即可得到该椭圆的离心率；
（2）设直线AF1的方程为y=（x+1），求出原点O关于直线AF1的对称点M的坐标为（-，），从而得到|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|=，再由MF2的方程y=-（x-1）与AF1方程联解，即可得到此时点P的坐标．
【解析】
（1）由题意，得，解之得a=2，b=，c=1
故椭圆C的方程为=1，离心率e=；
（2）∵△AF1F2是正三角形，可得直线AF1的斜率为k=tan=
∴直线AF1的方程为y=（x+1）
设点O关于直线AF1的对称点为M（m，n），则，
解之得m=-，n=，可得M坐标为（-，），
∵|PO|=|PM|，|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|＞|MF2|
∴|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|==
直线MF2的方程为y=（x-1），即y=-（x-1）
由解得，所以此时点P的坐标为（-，）．
综上所述，可得求|PF1|+|PO|的最小值为，此时点P的坐标为（-，）．