Question

如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C-DE-A的大小；
（Ⅲ）求点A到平面CDE的距离．

Answer

（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，由F，G分别为DC，BC中点，知FG∥BD且FG=BD，又AE∥BD且AE=BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能够证明EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则C（，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），，．求出面CDE的法向量，（6分）面ABDE的法向量，由此能求出二面角C-DE-A的大小．
（Ⅲ）由面CDE的法向量，，利用向量法能求出点A到平面CDE的距离．
【解析】
（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，
∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FG∥BD且FG=BD，又AE∥BD且AE=BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，
∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴BD⊥平面ABC，
又∵DB⊂平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵G为 BC中点，且AC=AB，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．（4分）
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，
分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，
则C（，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），
，．
设面CDE的法向量=（x，y，z），
则，
取，（6分）
取面ABDE的法向量，（7分）
由cos＜＞=
==，
故二面角C-DE-A的大小为arc．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），
面CDE的法向量，，
则点A到平面CDE的距离
d===．（12分）