Question

己知函数h（x）=（x∈R，且x＞2）的反函数的图象经过点（4，3），将函数y=h（x）的图象向左平移2个单位后得到函数y=f（x）的图象．
（I ）求函数f（x）的解析式；
（II）若g（x）=f（x）+，g（x）在区间（0，3]上的值不小于8，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先根据互为反函数的两个函数的对称性得出函数h（x）=（x∈R，且x＞2）的图象经过点（3，4），将点的坐标代入函数解析式得出m，由于h（x）==（x-2）+，从而f（x）=h（x+2）=x+．
（II）根据题意得出x+≥8有a≥-x2+8x-3，令t（x）=-x2+8x-3，则t=-（x-4）2+13，利用t（x）在（0，3）上是增函数．求出其最大值，从而得到实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵函数h（x）=（x∈R，且x＞2）的反函数的图象经过点（4，3），
∴函数h（x）=（x∈R，且x＞2）的图象经过点（3，4），
∴=4，⇒m=7，
∴h（x）==（x-2）+，
∴f（x）=h（x+2）=x+． …（3分）
（Ⅱ）∵g（x）=x+，
∴由已知有x+≥8有a≥-x2+8x-3，
令t（x）=-x2+8x-3，则t=-（x-4）2+13，于是t（x）在（0，3）上是增函数．
∴t（x）max=12．
∴a≥12．…（12分）