Question

已知m＞1，直线l：x-my-=0，椭圆C：+y²=1，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点．
（I）当直线l过右焦点F₂时，求直线l的方程；
（II）当直线l与椭圆C相离、相交时，求m的取值范围；
（III）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer

（I）写出右焦点F2的坐标，代入直线l的方程，即可求得m值，从而得到l的方程，注意m范围；
（II）直线与椭圆方程联立消去x，得y的二次方程，由△＜0得相离时m的范围，由△＞0得相交时m的范围；
（III）设A（x1，y1），B（x2，y2）．根据（II）由判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据，，可知G（，），H（，），表示出|GH|2，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
因为直线l：x-my-=0，经过F2（，0），
所以-=0，得m2=2，
又因为m＞1，所以m=，
故直线l的方程为x-y-1=0．
（II）由消去x得2y2+my+-1=0，
由△=m2-8（-1）=-m2+8＜0，得m＜-2，或m＞2，由△＞0得-2＜m＜2，
所以当直线与椭圆相离时m的取值范围是m＜-2，或m＞2；当直线与椭圆相交时m的取值范围是-2＜m＜2；
（III）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（II）知，△=m2-8（-1）=-m2+8＞0，得m2＜8，且有y1+y2=-，y1y2=．
由于F1（-c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，
由，，可知G（，），H（，）
|GH|2=+，
设M是GH的中点，则M（，），
由题意可知2|MO|＜|GH|，即4[]＜+，即x1x2+y1y2＜0，
而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（-），
所以（-）＜0，即m2＜4，
又因为m＞1且△＞0，
所以1＜m＜2．