(I)根据菱形的性质可得ACAC⊥BD,根据线面垂直的性质可得PA⊥BD,综合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC
(II)以O为坐标原点,OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,分别求出PB与AC的方向向量,代入向量夹角公式,可得答案.
(III)分别求出平面PBC与平面PDC的方向向量,根据平面垂直则其法向量也垂直,构造方程,求出参数值,可得PA的长.
证明:(I)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以PA⊥BD,
又∵PAPAPAPAPAPA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC
所以BD⊥平面PAC. …4分
【解析】
(Ⅱ)设AC∩BD=O.
因为∠BAD=60°,PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO=.
如图,以O为坐标原点,OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则
P(0,-,2),A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0).
所以=(1,,-2),=(0,2,0).
设PB与AC所成角为θ,则 cosθ===. …8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知=(-1,,0).
设P(0,-,t) (t>0),则=(-1,-,t).
设平面PBC的法向量=(x,y,z),则•=0,•=0.
所以
令y=,则x=3,z=,
所以m==(3,,),.
同理,可求得平面PDC的法向量=(3,-,),.
因为平面PBC⊥平面PDC,所以•=0,即-6+=0.解得t=.
所以当平面PBC与平面PDC垂直时,PA=. …12分