Question

已知等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且{a_n}、{b_n}满足条件：S₄=4a₃-2，T_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，求a₁的取直范围；
（Ⅲ）若a₁=-4，令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和V_n．

Answer

（I）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可解出；
（II）利用等差前n项和公式化为（n-5）（2a1+n+4）≥0．由于对任意的n∈N*，都有Sn≥S5成立，可得且，解出即可．
（III）利用等差数列的通项公式即可得出an．利用n≥2时，bn=Tn-Tn-1，n=1时b1=T1，及等比数列的通项公式即可得到bn．利用“错位相减法”即可得到Vn．
【解析】
（I）设等比数列{bn}的公比为q，由S4=4a3-2，得，化为6d=8d-2，解得d=1．即公差d=1．
（II）由Sn≥S5成立，得到，化为（n-5）（2a1+n+4）≥0．
由于对任意的n∈N*，都有Sn≥S5成立，∴且
解得．
∴．
（III）①当a1=-4时，an=-4+（n-1）×1=n-5；
②当n=1时，b1=T1=2b1-2，解得b1=2；
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=2bn-2-（2bn-1-2）=2bn-2bn-1，化为bn=2bn-1．
∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴．
∴．
∴+0+26+2×27+…+（n-5）•2n，
-25+27+28+…+（n-6）•2n+（n-5）•2n+1．
两式相减得-Vn=-8+22+23+…+2n+（5-n）•2n+1=，
化为．