Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为（其中α为参数），M是曲线C₁上的动点，且M 是线段OP 的中点，（其中O点为坐标原点），P 点的轨迹为曲线C₂，直线l 的方程为ρsin（θ+）=，直线l 与曲线C₂交于A，B两点．
（1）求曲线C₂的普通方程；
（2）求线段AB的长．

Answer

（1）把曲线C1的参数方乘化为普通方程，设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标，再把点M的坐标代入C1的普通方程化简可得所求．
（2）求得直线l的直角坐标方程，求出圆心（0，4）到直线的距离d，利用弦长公式求出线段AB 的值．
【解析】
（1）由曲线C1的参数方程为（其中α为参数），消去参数化为普通方程为 x2+（y-2）2=4．
设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标为（，）．
再由M是曲线C1上的动点可得 +=4，即 x2+（y-4）2=16．故曲线C2的普通方程为  x2+（y-4）2=16．
（2）直线l 的方程为ρsin（θ+）=，即 ρcosθ+ρsinθ=2，即 x+y-2=0．
由于圆心（0，4）到直线的距离等于d==，圆的半径等于4，
∴线段AB=2 =2．