Question

如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=-．
（1）求cosα；
（2）求BC边上高的值．

Answer

（1）由二倍角公式cos2α=2cos2α-1，可求cosα
（2）方法一、由可求sinα，而∠CAD=∠ADB-∠C=α-45°，利用sin∠CAD=sin（）=sin，代入可求sin∠CAD，最后再
由正弦定理，可求AD，从而可由h=ADsin∠ADB求解
方法二、作BC 边上的高为AH，在直角△ADH中，由（1）可得，设出AD，则可表示DH，AH，结合△AHC为等腰直角三角形，可得CD+DH=AH，代入可求
【解析】
（1）∵cos2α=2cos2α-1=，
∴，
∵，
∴cosα=．-----------（5分）
（2）方法一、由（1）得=，
∵∠CAD=∠ADB-∠C=α-45°，
∴sin∠CAD=sin（）=sin
==，-----------------（9分）
在△ACD中，由正弦定理得：，
∴AD==，-----------------（11分）
则高h=ADsin∠ADB==4．-----------------（12分）
方法二、如图，作BC 边上的高为AH 
在直角△△ADH中，由（1）可得=，
则不妨设AD=5m则DH=3m，AH=4m-----------------（8分）
注意到C=45°，则△AHC为等腰直角三角形，所以CD+DH=AH，
则1+3m=4m-----------------（10分）
所以m=1，即AH=4-----------------（12分）