Question

已知数列，首项，若二次方程的根α、β且满足3α+αβ+3β=1，则数列{a_n}的前n项和S_n=    ．

Answer

由韦达定理得到α+β=，α•β=-，从而可得3an+1=an+1，可分析出{an-}是以为首项，为公比的等比数列，于是可求得an，利用分组求和法即可求得Sn．
【解析】
依题意得：α+β=，α•β=-，
∵3α+αβ+3β=1，
∴3•-=1．
∴3an+1=an+1，
∴3（an+1-）=an-，
∴=，又，
∴a1-=，
∴{an-}是以为首项，为公比的等比数列．
∴an-=•=．
∴an=+．
∴Sn=a1+a2+…+an=[++…+]+n
=-+．
故答案为：+-．