Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足，T_n为{b_n}的前n项和，试比较T_n与的大小，并说明理由．

Answer

（I）利用，其中a1=1，an≠0，令n分别取1，2即可得出；
（II）由已知可知，可得．由于an+1≠0，转化为一个分奇数项和偶数项分别成等差数列：an+2-an=2
（n∈N*）． 即可得出通项an．
（III）   要比较Tn与的大小，只需比较2Tn与log2（2an+1）的大小．利用（II）和已知条件即可得出2Tn，令f（n）=2Tn-log2（2an+1），比较f（n+1）与f（n）的大小即可得出结论．
【解析】
（Ⅰ）∵，其中a1=1，an≠0．
∴，
．
（Ⅱ）由已知可知，故．
∵an+1≠0，∴an+2-an=2（n∈N*）．         
于是 数列{a2m-1}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，∴a2m-1=1+2（m-1）=2m-1，
数列{a2m}是以a2=2为首项，2为公差的等差数列，∴a2m=2+2（m-1）=2m，
∴an=n（n∈N*）．                     
（Ⅲ）可知．下面给出证明：
要比较Tn与的大小，只需比较2Tn与log2（2an+1）的大小．
由，得，，
故．            
从而 ．
=
因此2Tn-log2（2an+1）=-log2（2n+1）
=
=．
设，
则，
故=，
又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．
所以对于任意 n∈N*都有，
从而2Tn-log2（2an+1）=log2f（n）＞0．
所以．
即  ．