Question

如图，设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l₁，l₂均与椭圆C相切，且l₁∥l₂，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设P（x，y），可得向量坐标关于x、y的形式，从而得到，结合点P为椭圆C上的点，化简得，说明最小值为1-c2=0，从而解出a2=2且b2=1，得到椭圆C的方程．
（2）当直线l1，l2斜率存在时，设它们的方程为y=kx+m与y=kx+n，与椭圆方程联解并利用根的判别式列式，化简得m2=1+2k2且n2=1+2k2，从而得到m=-n．再假设x轴上存在B（t，0），使点B到直线l1，l2的距离之积为1，由点到直线的距离公式列式，并化简去绝对值整理得k2（t2-3）=2或k2（t2-1）=0，再经讨论可得t=±1，得B（1，0）或B（-1，0）．最后检验当直线l1，l2斜率不存在时，（1，0）或（-1，0）到直线l1，l2的距离之积与等于1，从而得到存在点B（1，0）或B（-1，0），满足点B到l1，l2的距离之积恒为1．
【解析】
（1）设P（x，y），则有，-------------（1分）
∴
∵点P在椭圆C上，可得，可得y2=x2，
∴-------------（2分）
因此，最小值为1-c2=0，解之得c=1，可得a2=2，-------------------（3分）
∴椭圆C的方程为．---------------------------------------------（4分）
（2）①当直线l1，l2斜率存在时，设其方程为y=kx+m，y=kx+n--------------------（5分）
把l1的方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2-2=0
∵直线l1与椭圆C相切，
∴△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=0，化简得m2=1+2k2----------------------------（7分）
同理可得n2=1+2k2------------------------------------------------------------（8分）
∴m2=n2，而若m=n则l1，l2重合，不合题意，因此m=-n-----------------------（9分）
设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l1，l2的距离之积为1，
则，即|k2t2-m2|=k2+1，---------------------------------（10分）
把1+2k2=m2代入，并去绝对值整理，可得k2（t2-3）=2或k2（t2-1）=0，而前式显然不能恒成立；
因而要使得后式对任意的k∈R恒成立
必须t2-1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（-1，0）；----------------------------（12分）
②当直线l1，l2斜率不存在时，其方程为和，---------------------------（13分）
定点（-1，0）到直线l1，l2的距离之积为；定点（1，0）到直线l1，l2的距离之积为，也符合题意．
综上所述，满足题意的定点B为（-1，0）或（1，0）--------------------------------------------（14分）