Question

某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试，规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．现有100人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图．

（1）求获得参赛资格的人数；
（2）根据频率分布直方图，估算这100名学生测试的平均成绩；
（3）现在成绩[110，130）、[130，150]（单位：分）的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到高编号为A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在[130，150]的概率．

Answer

（1）求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数．
（2）由频率分布直方图求数据的平均数，是各个矩形宽的中点横坐标乘以各个矩形的纵坐标的和，在乘以组距即可．
（3）本题是一个等可能事件的概率，最后两组共有15名学生，用分层抽样在15名学生中抽5名学生，最后两组分别抽取2人，3人，列举出事件发生所包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果．
【解析】
（1）由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为：
100×（0.0050+0.0045+0.0030）×20=25人．----------------（3分）
（2）设100名学生的平均成绩为，则
=[×0.0065+×0.0140+×0.0170+×0.0050+×0.0045+×0.0030]×20=78．（4分）．------------------------------------（6分）
（3）成绩在[110，130）的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在[130，150）的人数为100×0.0030×20=6人，
所以应从成绩在[130，150）中抽取×5=2人，从成绩在[110，130）中抽取×5=3人，
故A4，A5∈[130，150），----（8分）
从A1，A2，A3，A4，A5中任取两人，共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A3，A4），（A3，A5），（A4，A5）十种不同的情况，-----------（10分）
其中含有A4，A5的共有7种，
所以至少有1人的成绩在[130，150）的概率为．-----（12分）