Question

已知a＞0，函数f（x）=ax²-lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当时，证明：方程在区间（2，+∞）上有唯一解；
（3）若存在均属于区间[1，3]的α，β且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明：．

Answer

（1）先求出f′（x），利用导数与函数单调性的关系即可得出；
（2）利用（1）的结论可知：f（x）-在区间（2，+∞）上单调递增，再验证函数零点存在定理的条件即可证明；
（3）由f（α）=f（β）及（1）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最大值为f（α）（或f（β）），又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．利用其单调性解出即可．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），．
∵a＞0，令f'（x）＞0得：，令f'（x）＜0得：．
∴函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）证明：当时，，由（1）知f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），
令，则g（x）在区间（2，+∞）单调递增且g（2）=f（2）-==＜0，
＞0．
∴方程在区间（2，+∞）上有唯一解．
（3）证明：由f（α）=f（β）及（1）的结论知，
从而f（x）在[α，β]上的最大值为f（α）（或f（β）），
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故，即
从而．