Question

已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（I）若函数f（x）在区间（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（II）当 x≥1时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由斜率公式求出k=f（x），求出导数f′（x），根据导数符号可判断f（x）的极值情况，要使函数f（x）在区间（其中m＞0）上存在极值，须有极值点在该区间内，从而得不等式组，解出即可；
（Ⅱ）由得，令，则问题转化为求函数g（x）的最小值问题，利用导数研究函数g（x）的单调性，由单调性即可求得其最小值；
【解析】
（Ⅰ）由题意，x＞0，
所以，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
故f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（其中m＞0）上存在极值，
所以，解得．
故实数m的取值范围是．
（Ⅱ）由得，
令，则．
令h（x）=x-lnx，则，
因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增．
所以h（x）≥h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）≥g（1）=2，
所以实数t的取值范围是（-∞，2]．