Question

已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1．记集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c_n}．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式，并写出数列{c_n}的前4项；
（Ⅱ）把集合∁_UA中的元素从小到大依次排列构成数列{d_n}，求数列{d_n}的通项公式，并说明理由；
（Ⅲ）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）根据等比数列的通项公式，算出bn=2n-1，从而得到数列{bn}的前4项，再与{an}的前4项加以对照即可得到数列{cn}的前4项；
（II）根据补集定义，得到数列{dn}前4项分别为2、8、32、128，从而猜测{dn}的通项公式为dn=22n-1．然后加以证明：注意到dn=b2n，所以只需证明数列{bn}中b2n-1∈A且b2n∉A．一方面b2n+1-b2n-1=4n-4n-1=3×4n-1，从而b2n+1=b2n-1+3×4n-1，结合整数的整除理论证出“若b2n-1∈A，则b2n+1∈A”，由此结合b1∈A实施递推可得b2n-1∈A；另一方面通过作差，证出b2n+2=b2n+3×2×4n-1，根据“3×2×4n-1”等于{an}的公差3k（k∈Z）倍，结合整数的整除理论可得b2n 与b2n+2要么同时属于A，要么同时不属于A，结合b2=2∉A可得b2n∉A．由以上两方面相综合，即可得到数列{dn}的通项公式为dn=22n-1；
（III）分两种情况：①当n=1时，根据{cn}的定义易得S1=1；②当n≥2时由（Ⅱ）的结论可得：{bn}中的奇数项b2n-1∈A，而偶数项b2n∉A，因此发现存在整数k＜n使成立，再讨论整数k与n的关系算出．由以上的讨论，即可得出数列{cn}的前n项和Sn的表达式．
【解析】
（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，
∵b1=a1=1，b4=a3+1=8，则q3=8，∴q=2，∴bn=2n-1，…（2分）
∵数列{an}的前4项为1，4，7，10，数列{bn}的前4项为1，2，4，8，
∴数列{cn}的前4项为1，2，4，7；  …（3分）
（Ⅱ）根据集合B中元素2，8，32，128∉A，猜测数列{dn}的通项公式为dn=22n-1．…（4分）
∵dn=b2n，∴只需证明数列{bn}中，b2n-1∈A，b2n∉A（n∈N*）．
证明如下：
∵b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1，即b2n+1=b2n-1+3×4n-1，
若∃m∈N*，使b2n-1=3m-2，那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3（m+4n-1）-2，
所以若b2n-1∈A，则b2n+1∈A．因为b1∈A，重复使用上述结论，即得b2n-1∈A（n∈N*）．
同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1，即b2n+2=b2n+3×2×4n-1，
因为“3×2×4n-1”等于数列{an}的公差3的整数倍，由此说明b2n 与b2n+2（n∈N*）同时属于A或同时不属于A，
当n=1时，显然b2=2∉A，即有b4=2∉A，重复使用上述结论，即得b2n∉A，
∴综上所述，可得数列{dn}的通项公式为dn=22n-1；  …（8分）
（Ⅲ）（1）当n=1时，所以因为b1=a1=1，所以S1=1；           …（9分）
（2）当n≥2时，由（Ⅱ）知，数列{bn}中，b2n-1∈A，b2n∉A，
则∃k∈N*，且k＜n，使得
=．…（11分）
下面讨论正整数k与n的关系：
数列{cn}中的第n项不外乎如下两种情况：
①b2k=cn或者②an-k=cn，
若①成立，即有3（n-k）-2＜22k-1＜3（n-k+1）-2，
若②成立，即有22k-1＜3（n-k）-2＜22k+1，
∴或者，
显然=N*，可得．
综上所述，得Sn的表达式为
．…（14分）