Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer

（I）取AB中点E，连PE、CE，由等腰三角形的性质可得PE⊥AB．再利用勾股定理的逆定理可得PE⊥CE．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．再利用面面垂直的判定定理即可证明．
（II）建立如图所示的空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
（Ⅰ）证明：如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．
则PE是等腰△PAB的底边上的中线，∴PE⊥AB．
∵PE=1，CE=，PC=2，即PE2+CE2=PC2．
由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．
又∵AB⊂平面ABCD，CE⊂平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD．
而PE⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（0，-1，0），C（，0，0），D（，-2，0），P（0，0，1），
=（，1，0），=（，0，-1），=（0，2，0）．        
设是平面PAC的一个法向量，
则，即．
取x1=1，可得，．  
设是平面PCD的一个法向量，
则，即．
取x2=1，可得，．            
故，
即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．