Question

如图，已知椭圆E：的离心率是，P₁、P₂是椭圆E的长轴的两个端点（P₂位于P₁右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P₂右侧的一点，且满足．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
（Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
①求证：B、C关于x轴对称；
②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）设点F（c，0），Q（x，0）（x＞a），由，得，依题意|FQ|=1，即，再由离心率，联立即可解得a，b，c，及点Q坐标；
（Ⅱ）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m2）y2+4my+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），点B关于x轴的对称点B1（x2，-y2），只需证明B1即为点C，可证A、F、B1三点共线，根据斜率相等及韦达定理即可证明；②由①得B、C关于x轴对称，同理A、D关于x轴对称，易知四边形ABCD是一个等腰梯形，从而四边形ABCD的面积S=|x1-x2|•（|y1|+|y2|）=|m|•|y1-y2|•|y1+y2|，代入韦达定理可得关于m的函数，通过换元借助导数可求得S的最大值及相应的m值，从而可得直线方程；
【解析】
（Ⅰ）设点F（c，0），Q（x，0）（x＞a）．

由，
可得，解得．
依题意|FQ|=1，即．
又因为，所以．
故椭圆的方程是，点Q的坐标是（2，0）．        
（Ⅱ）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m2）y2+4my+2=0，
依题意，△=（4m）2-8（2+m2）=8（m2-2）＞0，m2＞2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．（*）
点B关于x轴的对称点B1（x2，-y2），
则A、F、B1三点共线等价于，
由（*）可知上述关系成立．
因此，点C即是点B1，这说明B、C关于x轴对称．
②由①得B、C关于x轴对称，同理，A、D关于x轴对称．
所以，四边形ABCD是一个等腰梯形，
则四边形ABCD的面积S=|x1-x2|•（|y1|+|y2|）=|m|•|y1-y2|•|y1+y2|=．
设，则m2=t2+2，．
求导可得，令S'=0，可得．
由于S（t）在上单调增，在上单调减．
所以，当即时，四边形ABCD的面积S取得最大值．                     
此时，直线l的方程是．