Question

如图，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面AA₁C₁C是菱形，∠A₁AC=60°，E、F分别是A₁C₁、AB的中点．
求证：
（1）EC⊥平面ABC；
（2）求三棱锥A₁-EFC的体积．

Answer

（1）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足．易得四边形OCEA1为平行四边形，进而可得EC∥A1O，且EC=A1O．再由已知和面面垂直的性质可得所以A1O⊥底面ABC，进而可得结论；
（2）F到平面A1EC的距离等于B点到平面A1EC距离BO的一半，可得BO=，所以，代入数据计算可得．
证明：（1）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足．
因为，所以，
即O为AC的中点，所以OC∥A1E，且OC=A1E…（3分）
可得四边形OCEA1为平行四边形，故EC∥A1O，且EC=A1O．
因为侧面AA&1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊥AC，
所以A1O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC．…（6分）
（2）F到平面A1EC的距离等于B点到平面A1EC距离BO的一半，而BO=．…（8分）
所以．…（12分）