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在如图的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2...

在如图的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
(Ⅰ) 求证:AB∥平面DEG;
(Ⅱ) 求证:BD⊥EG;
(Ⅲ) 求二面角C-DF-E的余弦值.

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(Ⅰ) 先证明四边形ADGB是平行四边形,可得AB∥DG,从而证明AB∥平面DEG. (Ⅱ) 过D作DH∥AE交EF于H,则DH⊥平面BCFE,DH⊥EG,再证BH⊥EG,从而可证EG⊥平面BHD,故BD⊥EG. (Ⅲ)分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴,建立空间坐标系,由已知得是平面EFDA的法向量. 求出平面DCF的法向量为n=(x,y,z),则由求得 二面角C-DF-E的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)证明:∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.  又∵BC=2AD,G是BC的中点,∴, ∴四边形ADGB是平行四边形,∴AB∥DG.∵AB⊄平面DEG,DG⊂平面DEG,∴AB∥平面DEG. (Ⅱ)证明:∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,∴EF⊥AE,又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF⊂平面BCFE, ∴AE⊥平面BCFE. 过D作DH∥AE交EF于H,则DH⊥平面BCFE.∵EG⊂平面BCFE,∴DH⊥EG. ∵AD∥EF,DH∥AE,∴四边形AEHD平行四边形,∴EH=AD=2,∴EH=BG=2,又EH∥BG,EH⊥BE, ∴四边形BGHE为正方形,∴BH⊥EG. 又BH∩DH=H,BH⊂平面BHD,DH⊂平面BHD,∴EG⊥平面BHD. ∵BD⊂平面BHD,∴BD⊥EG. (Ⅲ)分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴,建立空间坐标系,由已知得 是平面EFDA的法向量.设平面DCF的法向量为n=(x,y,z),∵, ∴,即,令z=1,得n=(-1,2,1). 设二面角C-DF-E的大小为θ, 则,∴二面角C-DF-E的余弦值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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