Question

在平面直角坐标系内，动圆C过定点F（1，0），且与定直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹C₂的方程；
（2）中心在O的椭圆C₁的一个焦点为F，直线l过点M（4，0）．若坐标原点O关于直线l的对称点P在曲线C₂上，且直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长取得最小值时的椭圆方程．

Answer

（1）根据抛物线的定义，动圆圆心C的轨迹是以F（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，结合抛物线的基本概念即可求出C的轨迹C2的方程；
（2）设P（m，n），直线l方程为y=k（x-4），根据OP被l垂直平分建立关于k、m、n的方程组，解之可得m=且n=-．将P的坐标关于k的形式代入抛物线方程，解之得k2=1，从而得到直线l的方程．然后根据直线l与椭圆C1有公共点，两方程联解并运用根的判别式解出a2+b2≥16，结合b2=a2-1可得a的最小值为，由此即可得到椭圆C1的长轴长取得最小值时的椭圆方程．
【解析】
（1）由题意，可得
∵圆心C到定点F（1，0）的距离与到定直线x=-1的距离相等
∴由抛物线定义知，C的轨迹C2是以F（1，0）为焦点，
直线x=-1为准线的抛物线
∴动圆圆心C的轨迹C2的方程为y2=4x．
（2）设P（m，n），直线l方程为y=k（x-4），则OP中点为（，），
∵O、P两点关于直线y=k（x-4）对称，
∴，即，解之得
将其代入抛物线方程，得：（-）2=4×，解之得k2=1．
设椭圆C1的方程为，
联列 ，消去y得：（a2+b2）x2-8a2x+16a2-a2b2=0
由△=（-8a2）2-4（a2+b2）（16a2-a2b2）≥0，得a2+b2≥16，
注意到b2=a2-1，即2a2≥17，可得a≥，即2a，
因此，椭圆C1长轴长的最小值为，此时椭圆的方程为．