Question

已知函数．
（I）若f（x）=f₁（x）+f₂（x）-bf₂（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f₁（x）+f₂（x）在R上的单调区间；
（III ）对于给定的实数∃x∈[0，1]，对∀x∈[0，1]，有|f₁（x）-f₂（x）|＜1成立．求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）存在a=0，b=-1使y=f（x）为偶函数．再根据偶函数的定义进行证明即可；
（Ⅱ）先利用绝对值的意义将g（x）写成分段函数的形式g（x）=，再对x进行分类讨论：①当x≥2时；②当x＜2时；利用导数工具研究其单调性即得；
（Ⅲ）由于|f1（x）-f2（x）|＜1，从而f2（x）-1＜f1（x）＜f2（x）+1，∃x∈[0，1]对∀x∈[0，1]，f2（x）-1＜f1（x）＜f2（x）+1成立．等价于：．再对字母b分类讨论：①当b≥0时，②当b＜0时．即可求得a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）存在a=0，b=-1使y=f（x）为偶函数，…（2分）
证明如下：此时：f（x）=e|x|+e-x+ex，x∈R
∴f（-x）=e|-x|+ex+e-x=f（x），
∴y=f（x）为偶函数．…（4分）
（注：a=0，b=0）也可以）
（Ⅱ）∵g（x）=e|x-2|+ex=，…（5分）
①当x≥2时g（x）=ex-2+ex，∴g′（x）=ex-2+ex＞0，
∴y=g（x）在[2，+∞）上为增函数．…（6分）
②当x＜2时g（x）=e2-x+ex，
则g′（x）=-e2-x+ex，令g′（x）=0得到x=1，
（ⅰ）当x＜1时g′（x）＜0，
∴y=g（x）在（-∞，1）上为减函数．
（ⅱ） 当1≤x＜2时g′（x）＞0，
∴y=g（x）在（1，2）上为增函数．…（8分）
综上所述：y=g（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（-∞，1）．…（9分）
（Ⅲ）∵|f1（x）-f2（x）|＜1，
∴f2（x）-1＜f1（x）＜f2（x）+1
∴∃x∈[0，1]对∀x∈[0，1]，f2（x）-1＜f1（x）＜f2（x）+1成立．
即：…（10分）
①当b≥0时，f2（x）为增函数或常数函数，
∴当x∈[0，1]时，
∵，
∴f2（x）min-1=f2（0）-1=0＜f1（x）min恒成立．
，，
∴eb+1＞e1-a
∴a＞1-ln（eb+1）
∵
∴
∴
∴eb+1＞ea
∴a＜ln（eb+1）
∵
∴
综上所述：a∈（1-ln（eb+1），ln（eb+1））…（12分）
②当b＜0时，f2（x）在[0，1]上为减函数，
∴
∵
∴f2（x）min-1＜f1（x）min恒成立．
∴
∴a＞1-ln2
∴，
，．
∴2＞ea
∴a＜ln2
∴
综上所述：∴a∈（1-ln2，ln2）…（13分）
由①②得当b≥0时，a∈（1-ln（eb+1），ln（eb+1））；
当b＜0时，a∈（1-ln2，ln2）．…（14分）