Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），抛物线E以坐标原点为顶点，F₂为焦点．直线l过点F₂，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点若F₁B⊥F₂B，则|AF₂|-|BF₂|=    ．

Answer

根据题意，求出抛物线方程为y2=4x．设B（s，t），可得、关于s、t的坐标形式，根据=0列式可得（s+1）（s-1）+t2=0．因为s、t满足t2=4s，所以联解可得s=-2（舍负）．然后根据抛物线的性质，算出A的横坐标s′=+2．最后由抛物线的定义分别算出|AF2|=+3且|BF2|=（-1），即可得到|AF2|-|BF2|的值．
【解析】
∵抛物线E以坐标原点为顶点，F2（1，0）为焦点，
∴设B（s，t），可得=（s+1，t），=（s-1，t），
∵F1B⊥F2B，
∴=（s+1）（s-1）+t2=0，…（*）
∵点B在抛物线y2=4x上，可得t2=4s
∴方程（*）化简成：s2+4s-1=0
解之得s=-2（舍负），
根据抛物线的定义，可得|BF2|=s+=-2+1=-1
设点A的坐标为（s′，t′），可得s′===+2
∴|AF2|=s′+=+2+1=+3
因此，|AF2|-|BF2|=+3-（-1）=4
故答案为：4