Question

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最大值和最小值．

Answer

（Ⅰ）求导数，把a=2代入可得，f'（1）=-2，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可；
（Ⅱ）由△=8a，分a≤0，当a＞0两大类来判断，其中当a＞0时，又需分0＜a≤2，2＜a＜8，a≥8，三种情形来判断，综合可得答案．
（Ⅰ）【解析】
f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2-4x+2-a，当a=2时，，f'（1）=-2，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，即 6x+3y-5=0．（4分）
（Ⅱ）【解析】
方程f'（x）=0的判别式为△=（-4）2-4×2×（2-a）=8a．
（ⅰ）当a≤0时，f'（x）≥0，所以f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]
上的最小值是；最大值是f（3）=7-3a．
（ⅱ）当a＞0时，令f'（x）=0，得 ，或．f（x）和f'（x）的情况如下：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ ↘ ↗

故f（x）的单调增区间为，；单调减区间为．
①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]
上的最小值是；最大值是f（3）=7-3a．
②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是 ．
因为 ，
所以 当时，f（x）在区间[2，3]上的最大值是f（3）=7-3a；当时，f（x）在区间[2，3]上的最大值是．
③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）=7-3a；最大值是．
综上可得，
当a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是，最大值是7-3a；
当时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是，最大值是7-3a；
当时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是，最大值是；
当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7-3a，最大值是．