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已知函数f(x)=2aex+1,g(x)=lnx-lna+1-ln2,其中a为常...

已知函数f(x)=2aex+1,g(x)=lnx-lna+1-ln2,其中a为常数,e=2.718…,函数y=f(x)的图象与坐标轴交点处的切线为l1,函数y=g(x)的图象与直线y=1交点处的切线为l2,且l1∥l2
(Ⅰ)若对任意的x∈[1,5],不等式manfen5.com 满分网成立,求实数m的取值范围.
(Ⅱ)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域内的任意实数x.我们把|f(x)-g(x)|的值称为两函数在x处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域的所有偏差都大于2.
(Ⅰ)分别求得切点处的导数值,可得方程,进而可得a值,不等式可化为m<x-,令h(x)=x-,求导数可得函数h(x)在[1,5]上是减函数,从而可得m<h(5)即可; (Ⅱ)可得a=,进而可得|f(x)-g(x)|=|ex-lnx|,通过构造函数q(x)=ex-x-1,可得ex-1>x    …①,构造m(x)=lnx-x+1,可得lnx+1<x…②,由①②得ex-1>lnx+1,即ex-lnx>2,还可得ex>lnx,综合可得结论. 【解析】 (Ⅰ)函数y=f(x)的图象与坐标轴的交点为(0,2a+1), 又f′(x)=2aex,∴f′(0)=2a, 函数y=g(x)的图象与直线y=1的交点为(2a,1), 又g′(x)=,g′(2a)= 由题意可知,2a=,即a2= 又a>0,所以a=…(3分) 不等式可化为m<x-f(x)+ 即m<x-,令h(x)=x-,则h′(x)=1-()ex, ∵x>0,∴≥, 又x>0时,ex>1,∴()ex>1,故h′(x)<0 ∴h(x)在(0,+∞)上是减函数 即h(x)在[1,5]上是减函数 因此,在对任意的x∈[1,5],不等式成立, 只需m<h(5)=5-, 所以实数m的取值范围是(-∞,5-)…(8分) (Ⅱ)证明:y=f(x)和y=g(x)公共定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)可知a=, ∴|f(x)-g(x)|=|ex-lnx| 令q(x)=ex-x-1,则q′(x)=ex-1>0, ∴q(x)在(0,+∞)上是增函数 故q(x)>q(0)=0,即ex-1>x    …① 令m(x)=lnx-x+1,则m′(x)=, 当x>1时,m′(x)<0;当0<x<1时,m′(x)>0, ∴m(x)有最大值m(1)=0,因此lnx+1<x…② 由①②得ex-1>lnx+1,即ex-lnx>2 又由①得ex>x+1>x 由②得lnx<x-1<x,∴ex>lnx ∴|f(x)-g(x)|=ex-lnx>2 故函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域的所有偏差都大于2…(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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