满分5 > 高中数学试题 >

如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面,且PA=AB=AC....

如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面,且PA=AB=AC.
(Ⅰ)求证:PA∥平面QBC;
(Ⅱ)PQ⊥平面QBC,求二面角Q-PB-A的余弦值.

manfen5.com 满分网
(Ⅰ)利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明; (Ⅱ)方法一:利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出. 方法二:通过建立空间直角坐标系,利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角. 【解析】 (I)证明:过点Q作QD⊥BC于点D, ∵平面QBC⊥平面ABC,∴QD⊥平面ABC, 又∵PA⊥平面ABC, ∴QD∥PA,又∵QD⊂平面QBC,PA⊄平面QBC, ∴PA∥平面QBC. (Ⅱ)方法一:∵PQ⊥平面QBC, ∴∠PQB=∠PQC=90°,又∵PB=PC,PQ=PQ, ∴△PQB≌△PQC,∴BQ=CQ. ∴点D是BC的中点,连接AD,则AD⊥BC, ∴AD⊥平面QBC,∴PQ∥AD,AD⊥QD, ∴四边形PADQ是矩形. 设PA=2a, ∴,PB=2a,∴. 过Q作QR⊥PB于点R, ∴=, ==, 取PB中点M,连接AM,取PA的中点N,连接RN, ∵PR=,,∴MA∥RN. ∵PA=AB,∴AM⊥PB,∴RN⊥PB. ∴∠QRN为二面角Q-PB-A的平面角. 连接QN,则QN===.又, ∴cos∠QRN===. 即二面角Q-PB-A的余弦值为. (Ⅱ)方法二:∵PQ⊥平面QBC, ∴∠PQB=∠PQC=90°,又∵PB=PC,PQ=PQ, ∴△PQB≌△PQC,∴BQ=CQ. ∴点D是BC的中点,连AD,则AD⊥BC. ∴AD⊥平面QBC,∴PQ∥AD,AD⊥QD, ∴四边形PADQ是矩形. 分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O-xyz. 不妨设PA=2,则Q(1,1,2),B(0,2,0),P(0,0,2), 设平面QPB的法向量为. ∵=(1,1,0),=(0,2,-2). ∴令x=1,则y=z=-1. 又∵平面PAB的法向量为. 设二面角Q-PB-A为θ,则|cosθ|=== 又∵二面角Q-PB-A是钝角 ∴.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
袋中有九张卡片,其中红色四张,标号分别为0,1,2,3;黄色卡片三张,标号分别为0,1,2;白色卡片两张,标号分别为0,1.现从以上九张卡片中任取(无放回,且每张卡片取到的机会均等)两张.
(Ⅰ)求颜色不同且卡片标号之和等于3的概率;
(Ⅱ)记所取出的两张卡片标号之积为X,求X的分布列及期望.
查看答案
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知manfen5.com 满分网,且manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求角A,B的大小;
(Ⅱ)设函数f(x)=sin(x+A)+cosx,求f(x)在[-manfen5.com 满分网]上的最大值.
查看答案
(x+1)(x-1)5展开式中含x3项的系数为    查看答案
平面直角坐标系中,过原点O的直线l与曲线y=ex-1交于不同的A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线,与曲线y=lnx交于点C,D,则直线CD的斜率是    查看答案
在△ABC中,若∠A=120°,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=-1,则|manfen5.com 满分网|的最小值是    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.