Question

如图，在边长为3的等边三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC边上的点，且满足AE=FC=CP=1，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，如图，使平面A₁EF⊥平面FEBP，连结A₁B，A₁P，
（1）求证：A₁E⊥PF；
（2）若Q为A₁B中点，求证：PQ∥平面A₁EF．

Answer

（1）利用余弦定理即可得出EF2=3，利用勾股定理的逆定理可得EF⊥AE，即A1E⊥EF．再利用面面垂直的性质定理就看得出A1E⊥平面FEBP．从而证明结论；
（2）取A1E的中点M，连接QM，MF，利用三角形中位线定理即可证明．先判断△CFP是等边三角形．即可得出．得到四边形PQMF为平行四边形，可得PQ∥MF．再利用线面平行的判定定理即可证明．
证明：（1）在△AEF中，∵AE=1，AF=2，∠EAF=60°，
由余弦定理可得EF2=12+22-2×1×2×cos60°=3，
∴AE2+EF2=AF2，∴EF⊥AE．即A1E⊥EF．
又平面A1EF⊥平面FEBP，∴A1E⊥平面FEBP．
∴A1E⊥PF．
（2）取A1E的中点M，连接QM，MF．
又∵Q为A1B的中点，∴．
∵FC=CP=1，∠C=60°．
∴△CFP是等边三角形．
∴∠CPF=∠B=60°，
∴PF∥BE.．
∴QMPF．
∴四边形PQMF为平行四边形，
∴PQ∥MF．
∵MF⊂平面A1EF，PQ⊄平面A1EF．
∴PQ∥平面A1EF．