Question

已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中常数a∈R．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上是单调减函数，求a的取值范围；
（3）f′（x）函数f（x）的导函数，问是否存在实数x∈（1，e），使得对任意实数a，都有成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先设x∈（-∞，0）则-x∈（0，+∞），再求出f（-x）利用函数是奇函数求出f（x），最后用分段函数表示出函数的解析式；
（2）根据函数f（x）是奇函数，若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减，当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减，求导，转化为导数小于等于零恒成立，利用分离参数，即可得a的取值范围；
（3）求出 ，和f′（x），解方程即可求得x的值，从而证明结论．
【解析】
（1）f（0）=0…（1分），x＜0时，
f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），
所以
（2）函数f（x）是奇函数，则f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，
当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减少，
当x＞0时，f（x）=ax+lnx，，
由得，在区间（1，+∞）的取值范围为（-1，0），
所以a的取值范围为（-∞，-1]
（3）存在．…，
解，得x=e-1，
因为1＜e-1＜e，
所以x=e-1为所求．