Question

64个正数排成8行8列，如下所示：，其中a_ij表示第i行第j列的数．已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q，，a₂₄=1，．
（Ⅰ）求a₁₂和a₁₃的值；
（Ⅱ）记第n行各项之和为A_n（1≤n≤8），数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足，mb_n+1=2（a_n+mb_n）（m为非零常数），，且，求c₁+c₂+…+c₇的取值范围；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的a_n，记，设，求数列{B_n}中最大项的项数．

Answer

（Ⅰ）轻车熟路的公比，通过a11，a12，a13，a14成等差数列，求a12和a13的值；
（Ⅱ）设第一行公差为d，求出d，求出（1≤n≤8，n∈N*，推出．说明{cn}是等差数列，推出．即可；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的an，记，设，利用数列的单调性推出，求出n即可求数列{Bn}中最大项的项数．
（共14分）
【解析】
（Ⅰ）因为，所以．
又a11，a12，a13，a14成等差数列，
所以．…（4分）
（Ⅱ）设第一行公差为d，由已知得，，
解得．
所以．
因为，．
所以，
所以（1≤n≤8，n∈N*）．…（6分）
因为mbn+1=2（an+mbn），
所以．
整理得．
而，所以，
所以{cn}是等差数列．…（8分）
故．
因为，
所以c1≠c7．
所以．
所以，
所以．
所以c1+c2+…+c7的取值范围是．…（10分）
（Ⅲ）因为是一个正项递减数列，
所以当dn≥1时，Bn≥Bn-1，当dn＜1时，Bn＜Bn-1．（n∈N*，n＞1）
所以{Bn}中最大项满足即…（12分）
解得≤．
又，且n∈N*，
所以n=7，即{Bn}中最大项的项数为7．…（14分）