Question

在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC．
（1）求角A的值；
（2）求的最大值．

Answer

（1）利用正弦定理将（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC转化为边之间的关系，再由余弦定理即可求得求角A的值；
（2）利用（1）中角A=60°，可求得B=120°-C，利用三角函数中的恒等变换可将sinB-cosC转化为关于角C的关系式，从而可求得其最大值．
【解析】
（1）∵（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC，
∴（sinB+sinC）2-sin2A=3sinBsinC，
∴sin2B+sin2C-sin2A--sinBsinC=0，
由正弦定理===2R得：b2+c2-a2-bc=0，
又由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA，
∴cosA=，角A=60°．
（2）∵角A=60°，在△ABC中，A+B+C=180°，
∴B=120°-C，
∴sinB-cosC
=sin（120°-C）-cosC
=（cosC-（-）sinC）-cosC
=cosC+sinC
=sin（C+），
∵C∈（0°，120°），
∴=1，即sinB-cosC得最大值为1．