Question

已知幂函数y=f（x）的图象经过点．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论．

Answer

（1）利用幂函数的形式设出其方程，将点的坐标代入求出解析式．
（2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性．关键是将函数值的差变形．
【解析】
（1）依题意设y=xα，
∵函数y=f（x）的图象经过点，
∴，∴，∴，
由可知：f（x）的定义域为[0，+∞）
（2）函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
证明：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
则
=，
∵x1-x2＜0，
∴f（x1）＜f（x2）
所以函数在[0，+∞）上是增函数．