Question

已知圆心在第二象限，半径为的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，过点D（-3，0）作直线l与圆C相交于A，B两点，且|DA|=|DB|．
（1）求圆C的方程；
（2）求直线l的方程．

Answer

（1）设出圆C的圆心坐标，因为半径为2，写出圆C的方程，然后因为圆与直线相切得到直线OC与y=x的斜率乘积为-1得到a与b的关系式，两者联立求解，由圆心C在第二象限得即可求出圆心坐标得到圆的方程；
（2）由|DA|=|DB|知点D为弦AB的中点，由垂径定理知CD⊥AB，所以斜率乘积为-1，利用CD的斜率得到AB的斜率，即可写出直线l的方程．
【解析】
（1）设圆C的圆心为C（a，b），则圆C的方程为：（x-a）2+（y-b）2=8
∵直线y=x与圆C相切于坐标原点O，∴点O在圆C上，且直线OC垂直于直线y=x
于是有，
解得或，
由圆心C在第二象限得a=-2，b=2，所以圆C的方程为（x+2）2+（y-2）2=8．
（2）由|DA|=|DB|知点D为弦AB的中点，由垂径定理知CD⊥AB，
∵，
∴，
∵直线l过点D（-3，0），
∴直线l的方程为：，
即：x+2y+3=0．