Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BB₁C₁C是边长为2的菱形，∠B₁BC=60°，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，二面角A-B₁B-C为30°．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）求AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值．

Answer

（1）由平面BB1C1C⊥平面ABC且平面BB1C1C∩平面ABC=BC，AC⊥BC，由面面垂直的性质定理可得AC⊥平面BB1C1C
（2）由（1）知AC⊥平面BB1C1C，则有∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△ACB1中可求得tan∠∠AB1C．
证明：（1）∵平面BB1C1C⊥平面ABC
平面BB1C1C∩平面ABC=BC
又∵AC⊥BC，AC⊂平面ABC
∴AC⊥平面BB1C1C（6分）
（2）取BB1的中点D，
AC⊥平面BB1C1C
∴AC⊥BB1
∴BB1⊥平面ADC
∴AD⊥BB1
∴∠CDA为二面角A-BB1-C的平面角
∴∠CDA=30°
∵CD=
∴AC=1（8分）
连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角（10分）
在Rt△ACB1中tan∠AB1C=（12分）