Question

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，点E是SC上任意一点．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（Ⅲ）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．

Answer

（1）欲证平面EBD⊥平面SAC，只需证BD⊥面SAC，利用线面垂直的判定定理可证得；
（2）过A作AF⊥SO交SO于点F，则AF⊥面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离，利用等面积法求出线段AF的长即可；
（3）作BM⊥SC于M，连接DM，可证得∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理建立等量关系求解即可．
【解析】
证明（Ⅰ）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴SA⊥BD，
∵SA∩AC=A，∴BD⊥面SAC，
又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；（4分）
【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD⊥面SAC，又∵BD⊂面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC，设AC∩BD=O，
则平面SBD∩平面SAC=SO，过A作AF⊥SO交SO于点F，
则AF⊥面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离．
∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，
又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，
∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，∴点A到平面SBD的距离为；（9分）
【解析】
（Ⅲ）作BM⊥SC于M，连接DM，
∵SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，
又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，
∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，
∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM．（11分）
要使∠BMD=120°，只须，
即BM2=，而BD2=2AB2，∴BM2=AB2，
∵BM×SC=SB×BC，SC2=SB2+BC2，∴BM2×SC2=SB2×BC2，
∴AB2（SB2+BC2）=SB2×BC2，
∵AB=BC，∴2SB2+2AB2=3SB2，∴SB2=2AB2，
又∵AB2=SB2-SA2，∴AB2=SA2，∴，
故当时，二面角B-SC-D的大小为120°．（14分）