Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．已知f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．

Answer

（1）转化为直接解方程x2-x-3=x即可．
（2）转化为ax2+bx+b-1=0有两个不等实根，转化为b2-4a（b-1）＞0恒成立，再利用二次函数大于0恒成立须满足的条件来求解即可．
（3）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直．找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得．
【解析】
（1）∵a=1，b=-2时，f（x）=x2-x-3，
f（x）=x⇒x2-2x-3=0⇒x=-1，x=3
∴函数f（x）的不动点为-1和3；

（2）即f（x）=ax2+（b+1）x+b-1=x有两个不等实根，
转化为ax2+bx+b-1=0有两个不等实根，须有判别式大于0恒成立
即b2-4a（b-1）＞0⇒△=（-4a）2-4×4a＜0⇒0＜a＜1，
∴a的取值范围为0＜a＜1；

（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2=-，
A，B的中点M的坐标为  （，），即M（-，-）
∵A、B两点关于直线y=kx+对称，
又因为A，B在直线y=x上，
∴k=-1，A，B的中点M在直线y=kx+上．
∴-=⇒b=-=-利用基本不等式可得
当且仅当a=时，b的最小值为-．