(1)求出导函数f′(x),令f′(1)=0,求出a值;将a的值代入f′(x)中;令f′(x)>0求出递增区间,令f′(x)<0,求出递减区间.
(2)求出f(x)的极大值与端点值求出f(x)在(1,3]的最大值;利用基本不等式求出的最小值,
得到的最小值大于f(x)的最大值,得证.
【解析】
(1)f′(x)=+2ax-3,由f′(1)=0,得a=.(4分)
∴f(x)=ln(2x-1)+,f/(x)=,
有图可知函数f(x)单调区间为
增区间为:,减区间为:(8分)
(2)由f(x)在递增,在递减.在x=1时取得极大值
又f(3)=ln5-f(3)=ln5-f(3)=ln5-,-
所以在∀x∈(1,3],f(x)<-
又m∈(0,+∞),-4≥2-4=-2,(当m=1时取等号)
即-4的最小值为-2,-2>-
∴∀x∈(1,3],f(x)<-4恒成立.