Question

如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，且PD=1，BD=8，则AC=    ．

Answer

由PDB为圆O的割线，PA为圆的切线，由切割线定理，结合PD=1，BD=8易得PA长，由∠ABC=60°结合弦切角定理易得△PAE为等边三角形，进而根据PE长求出AE长及ED，DB长，再根据相交弦定理可求出CE，进而得到答案．
【解析】
∵PD=1，BD=8，
∴PB=PD+BD=9
由切割线定理得PA2=PD•PB=9
∴PA=3
又∵PE=PA
∴PE=3
又∠PAC=∠ABC=60°
∴AE=3
又由DE=PE-PD=2
BE=BD-DE=6
由相交弦定理可得：
AE•CE=BE•ED=3CE=12
即CE=4
∴AC=AE+CE=7
故答案：7．