Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c，函数F（x）=f（x）-x的两个零点为m，n（m＜n）．
（1）若m=-1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集；
（2）若a＞0且，比较f（x）与m的大小．

Answer

根据函数F（x）=f（x）-x的两个零点为m，n，因此该函数解析式可表示为F（x）=a（x-m）（x-n），（1）m=-1，n=2时，对a＞0，或a＜0．进行讨论，写出不等式的解集即可；
（2）要比较f（x）与m的大小，做差，即有f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1），根据a＞0且，分析各因式的符号，即可得到结论．
【解析】
（1）由题意知，F（x）=f（x）-x=a（x-m）（x-n）
当m=-1，n=2时，不等式F（x）＞0
即为a（x+1）（x-2）＞0．
当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜-1，或x＞2}；
当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|-1＜x＜2}．
（2）f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1）
∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，0＜ax＜am＜an＜1；
∴x-m＜0，an＜1，∴1-an+ax＞0
∴f（x）-m＜0，即f（x）＜m．