Question

已知函数
（1）试判断函数f（x）的单调性；
（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）试证明：对∀n∈N^*，不等式．

Answer

（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；
（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；
（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）
由已知
令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e
∵当0＜x＜e时，，
当x＞e时，
∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，

（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减
故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增
∴，
②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减
∴，
③当m＜e＜2m，即时
∴．

（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，
∴在（0，+∞）上恒有，
即且当x=e时“=”成立，
∴对∀x∈（0，+∞）恒有，
∵，
∴
即对∀n∈N*，不等式恒成立．