Question

设数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由a1+3a2+32a3+…+3n-1an=⇒当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=，两式作差求出数列{an}的通项．
（2）由（1）的结论可知数列{bn}的通项．再用错位相减法求和即可．
【解析】
（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，①
∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=．②
①-②，得3n-1an=，（n≥2），
在①中，令n=1，
得．∴．
（2）∵，
∴bn=n•3n．
∴Sn=3+2×32+3×33+…+n•3n．③
∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④
④-③，得2Sn=n•3n+1-（3+32+33+…+3n），
即2Sn=n•3n+1-．
∴．