Question

在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知：=1：2，：=3：2，连接AQ、BP，设它们交于点R，若=，=．
（Ⅰ）用与表示；
（Ⅱ）过R作RH⊥AB，垂足为H，若||=1，||=2，与的夹角，求的范围．

Answer

（I）根据点P在边OA上且：=1：2，点Q在边OB上且：=3：2，我们易将向量和表示成，．再根据AQR三点共线，BPR三点共线，我们可以分别得到两个关于，的分解形式，利用平面向量的基本定理，易构造关于λ，μ的方程，进而可用与表示；
（II）由||=1，||=2，与的夹角，结合（I）的结论及RH⊥AB，我们易求出的取值范围．
【解析】
（I）由=，点P在边OA上且：=1：2，
可得（-），
∴．同理可得．（2分）
设，
则=+-）=（1-λ）+，
=+-b）=+（1-μ）．（4分）
∵向量与不共线，
∴解得
∴+．（5分）
（II）设，则（-），
∴（-）-（+）+=+（．（6分）
∵，
∴，
即[+（]•（-）=02+（2+•=0（8分）
又∵||=1，||=2，•=||||cosθ=2cosθ，
∴
∴．（10分）
∵，
∴，
∴5-4cosθ∈[3，7]，
∴．
故的取值范围是．（12分）