Question

已知数列{a_n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项．
（1）若a₁=4，则d的取值集合为    ；
（2）若a₁=2^m（m∈N^*），则d的所有可能取值的和为    ．

Answer

由题意可得，ap+aq=ak，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．
【解析】
由题意可得，ap+aq=ak，其中p、q、k∈N*，
由等差数列的通向公式可得a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=a1+（k-1），
整理得d=，
（1）若a1=4，则d=，
∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，
∴k-p-q+1∈N*，
∴d=1，2，4，
故d的取值集合为 {1，2，4}；
（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，
∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，
∴k-p-q+1∈N*，
∴d=1，2，4，…，2m，
∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1-1，
故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1-1．