Question

设数列 {a_n}的前n项和为S_n，且 S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列 {na_n}的前n项和为T_n，对任意 n∈N^*，比较与 S_n的大小．

Answer

（Ⅰ）由Sn=2an-1和Sn+1=2an+1-1相减得an+1=2an+1-2an，所以，由此可求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由题设知Tn=1•2n+2•21+3•22+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1，由错位相减求和法可知Tn=n•2n-2n+1．所以，再分n=1，n=2和n＞2三种情况讨论与 Sn的大小关系．
【解析】
（Ⅰ）由Sn=2an-1得Sn+1=2an+1-1，相减得：an+1=2an+1-2an，∴
又S1=2a1-1∴a1=2a1-1，a1=1∴an=2n-1（5分）
（Ⅱ）Tn=1•2n+2•21+3•22+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1①
2Tn=1•2+2•22+…+（n-2）•2n-2+（n-1）•2n-1+n•2n②
①-②得-T=1+2+22+…+2n-2+2n-1-n•2n，
则Tn=n•2n-2n+1．（9分）
∴
∴当n=1时，，当n=2时，
即当n=1或2时，
当n＞2时，（13分）