Question

已知等差数列{a_n}满足：a₁=8，a₅=0．数列{b_n}的前n项和为
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令，试问：是否存在正整数n，使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）∵已知{an}为等差数列且a1=8，a5=0．故求{an}的通项公式可使用构造方程法，求出公差d及首项即可，而数列{bn}，已知其前n项和为，故{bn}的通项公式可用来解答．
（2）由（1）的结论，我们可以先写出cn的通项公式，再结合数列的单调性从n=1开始对bncn+1＞bn+cn进行分类讨论，即可得到答案．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，由a5=a1+4d1，得d1=-2，
得an=-2n+10．
由数列{bn}的前n和为
可知，当n=1时，，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2n-2，bn=2n-2当n=1时，得，
故数列{an}的通项公式为an=-2n+10，
{bn}的通项公式为bn=2n-2．
（2）假设存在正整数n使不等式bncn+1＞bn+cn成立，
即要满足（cn-1）（bn-1）＞0，
由，bn=2n-2，
所以数列{cn}单调减，数列{bn}单调增，
①当正整数n=1，2时，2n-2-1≤0，
所以bncn+1＞bn+cn不成立；
②当正整数n=3，4时，cn-1＞0，bn-1＞0，
所以bncn+1＞bn+cn成立；
③当正整数n≥5时，cn-1≤0，bn-1＞0，
所以bncn+1＞bn+cn不成立．
综上所述，存在正整数n=3，4时，
使不等式bncn+1＞bn+cn成立．