Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（-1）=0，对于任意的实数x都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，f（x）≤．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：a＞0，c＞0；
（3）当x∈（-1，1）时，函数g（x）=f（x）-mx，m∈R是单调的，求m的取值范围．

Answer

（1）由f（x）≤可得 f（1）≤1，由f（x）-x≥0可得 f（1）≥1，故有（1）=1．
（2）f（x）-x≥0恒成立，可得a＞0，且f（0）-0≥0 恒成立，从而得到c≥0．
（3）由题意得，g（x）的对称轴在区间（-1，1）的左边或右边，即  ≤-1，或 ≥1，解出m的取值范围．
【解析】
（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（-1）=0，∴a+c=b，函数f（x）=ax2+（a+c）x+c．
∵当x∈（0，2）时，f（x）≤，∴f（1）≤1．
又对于任意的实数x都有f（x）-x≥0，∴f（1）-1≥0，f（1）≥1，故 f（1）=1．
（2）由题意得，f（x）-x=ax2+（a+c-1）x+c≥0恒成立，∴a＞0，且f（0）-0≥0 恒成立，
∴c≥0．
综上，a＞0，c≥0．
（3）∵g（x）=f（x）-mx=ax2+（a+c-m）x+c，当x∈（-1，1）时，g（x）是单调的，
∴≤-1，或 ≥1，∴m≤c-a，或 m≥3a+c，
故m的取值范围为（-∞，c-a]∪[3a+c，+∞）．